2011-09-09 (Fri) [長年日記]
_ Conceptual Mathematics読書会
今日は、Article IIを原君が担当。ペースがなかなか上がらないので英語の音読をやめることに。結局ペースはあまり上がらず、Article IIの1で力尽きた。
演習で証明の問題が出てきて、やっと勉強会っぽい雰囲気になってきた。
p.43の
Exercise 3: If f has an inverse, then f satisfies the two cancellation laws: (a) If f . h = f . k, then h = k. (b) If h . f = k . f, then h = k. Warning: The following `cancellation law' is not correct, even if f has an inverse. (c) (wrong): If h . f = f . k, then h = k.
という演習で(c)の反例を考えていたら、小学生の時に先生から聞いた次のようなクイズを思い出した。
目の前に二本の別れ道があり、一方は天国に、他方は地獄に続いている。どちらの道にも鬼がいるが、一方の鬼は正直者で必ず正しい答えを返し、もう一方の鬼は嘘吐きで必ず間違った答えを返す。どちらの鬼が正直者かあなたは知らない。この状況で、どちらか一方の鬼に一回だけ質問をして、天国に続く道がどちらかを知るには、どのような質問をすればよいか。
この問題は、次のような問題に置き換えることができる。
BOOLを二つの要素trueとfalseをもつ集合とする。honestをBOOL上のidentity map、 lierをBOOL上のendomapであり、trueをfalseに、falseをtrueに移すものとする。 f . honest = g . lierとなる二つの写像fとgを示せ。 ここで、fとgはhonest又はlierのいずれかとする。
何かあまり面白くないし、よく考えるとこの答えは(c)の反例じゃなくて、cancellation lawが成り立つ例だな。
yesmanをBOOL上のendomapであり、trueとfalseをいずれもtrueに移すものとし、nomanをBOOL上のendomapであり、trueとfalseをいずれもfalseに移すものとすると、
yesman . lier = lier . noman, but yesman /= noman
というわけで、これが(c)の反例。
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